证明对任何x>0,有不等式x/(1+x)<ln(1+x);

在x=0时
x/(1+x)=ln(1+x)=0
当x>0时
对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数，
[1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2]
[ln(1+x)]'=[1/(1+x)]
两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1
所以，在x>0时，x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x)，而在x=0出两者相等。
所以 x/(1+x)<ln(1+x)

不等式两边同乘以1+x(>0)
x<(1+x)ln(1+x)
x<ln(1+x)+xln(1+x)
后面知道了吧，哈哈
ln(1+x)<x
x<x+xln(1+x)<ln(1+x)+xln(1+x)
不等式证明出来了